【数と式③】根号の計算

madoryの『高校数学のブログ授業』です

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【結論】根号計算は，①加法・減法②乗法③除法 の３種類をマスターしよう！

さっそく本時の結論です

「根号計算は，①加法・減法②乗法③除法 の３種類をマスターしよう！」

一言で根号の計算と言っても，それが加法・減法なのか…乗法なのか…除法なのか…

四則演算の違いによって，計算のコツは異なります

①加法・減法は，根号の中の数が同じ場合のみ，計算を進めることができます！

②乗法では，なるべく展開公式を使うことが重要です！

③除法は，いわゆる分母の有理化の計算のこと。『(a+b)(a-b)=a²-b²』の公式を使うことがポイントです！

この結論にしたがって，順番に見ていきましょう

根号の計算

根号の計算は，以下の３つの種類に分かれます

乗法と除法はほとんど同じ計算のルールにはなりますが，「数学Ⅰ」における根号を含む除法の主な計算は，一般に『分母の有理化』を指します

それゆえ，乗法と除法で区別しておきます

根号の計算①　加法・減法

まず最初に，根号の加法・減法の計算を確認しましょう

根号の加法・減法の計算例

レッサーくん

これ以上計算を進めることはできないんだね！

加法・減法は，根号の中の数が同じ場合のみ計算を進めることができます

根号の乗法で用いる展開公式

根号の計算の乗法の確認に行く前に，必要な展開公式を復習しておきましょう！

展開の授業で紹介した，展開の公式７選です

詳細は，過去記事を参考にしてください

2021年10月23日【数と式①】式の展開

展開の公式　７選

これら７つの展開公式を可能な限り用いて，計算量を減らすことがポイントです！

根号の計算②　乗法

それでは，根号の乗法の計算を確認しましょう

根号の乗法の計算例

レッサーくん

(1)(2)は展開公式が使えて，(3)は公式が使えないんだね！

(1)(2)のような問題で公式に気付けるようにしないと!!

(1)(2)は展開公式が使えますが，(3) は展開公式が使えません

展開公式が使えない場合，計算量が増えるため，可能な限り展開公式を用いるようにしましょう

根号の計算③　除法（分母の有理化）

続いて，根号の除法の計算に進みます

ここでは，分母に根号を含む形の計算である『分母の有理化』の確認をしていきます

根号の除法（分母の有理化）の計算例　【分母の項が１つの場合】

レッサーくん

分母と同じ形のものを，分母・分子の両方に掛けるんだね！

ホッくん

分母・分子の両方に掛けるのは，約分すれば１になるからだよ！

分母の有理化は，ただの❝式変形❞なんだよ！

分母の項が１つの場合の分母の有理化は，中学校で学習済みの内容です

分母と同じ形を掛ければよいので簡単ですね！

根号の除法（分母の有理化）の計算例　【分母の項が２つの場合】

ホッくん

高校で新たに学習する分母の有理化がこちら！

『(a+b)(a-b)=a²-b²』の展開公式を分母に使っていくよ♪

レッサーくん

分母の後ろの項の符号を変えて，分母・分子の両方に掛ければいいんだね！

分母の項が２つの場合は，展開の公式 『(a+b)(a-b)=a²-b²』を使います

分母にもともとあった根号が２乗されることで，結果的に分母から根号が無くなります

分母の項の一方のみの符号を変えると，認識しておきましょう！

★補足★　なぜ，分母の❝有理化❞と呼ぶのか？

さて，「なぜ分母の❝有理化❞と呼ぶのか？」と

考えたことはありましたか？

『分母の有理化とは，分母から根号（ルート）を消すこと』

これ自体は間違いではありませんが，厳密には正しくはありません

ここで，予備知識をまとめておきます

有理化と無理数

❝有理数化❞を省略して❝有理化❞と呼んでいる

『有理数』の逆の意味である『無理数』とは，無限に続く数でなおかつ同じ数字が規則的に繰り返さない数

ホッくん

「無理数とは，根号（ルート）がついた数」

と理解しておけば大丈夫だよ！

一応，他には円周率のπ（パイ）=3.141592‥‥も無理数の仲間だよ

つまり分母の有理化とは…

無理数である分母を有理数にして，分母から根号（ルート）をなくすこと

を意味します

★補足★　２重根号

根号が２つ重なった形…それが２重根号です

２重根号は次の公式で計算を進めることができます

２重根号の公式

ホッくん

下の公式は，a が b より大きいときであることに注意が必要だよ！

２重根号の公式を用いた計算を見てみましょう

２重根号の公式を用いた計算例

ホッくん

２重根号の公式を使うには，和と積で同じ組合せを作っていくんだ！

レッサーくん

(2)では， 6 と 2 の順番を逆にしてしまうと間違いになるんだね！

気を付けないと～！！

さらに，２重根号の公式を用いた応用問題を紹介します

２重根号の公式を用いた応用問題の例

ホッくん

青い部分に注目して！(1)は 6 ，(2) は数字がないよ!!

内側の根号の前の数は， 2 でないと公式が使えないんだ～

最後に，２重根号の計算の注意点です

２重根号を外して計算を進めることは，常にできるわけではありません

100％根号を外せるルールではないことは，認識しておきましょう！

【まとめ】四則演算それぞれの根号計算のルールを整理しよう！

最後に本時のまとめです

根号の計算は，四則演算によって理解しておくことが異なります

このように，これ以上計算不可能な部分をさらに進めてしまったりしないよう，気を付けましょう！

今回は以上です。ありがとうございました