すうがくの両先生 
madoryの『高校数学のブログ授業』です
- 数学を基礎から学び直したい高校生
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- 挫折した高校数学に再挑戦したい社会人
こんな❝あなた❞に向けて発信しています！
さっそく本時の結論です
「逆は前後逆，裏は意味の否定，対偶はその両方！」
命題とは，正しいか正しくないかが決まる文や式のことでした
詳細は過去の授業を参考にしてください
【集合と命題④】命題と反例
その命題の逆・裏・対偶とは何なのか…
結論にしたがって，順番に見ていきましょう
まず，命題とその逆・裏・対偶の定義を確認しましょう
命題の逆は前後逆，裏は意味の否定，対偶はその両方をします
命題とその逆・裏・対偶のイメージ図
想像しやすいように，イメージ図でも確認しましょう
ここで確認したいのは，もとの命題の逆と裏の命題も対偶になっていることです
❝前後逆かつ意味の否定がされていたら対偶❞と理解しましょう！
命題とその対偶の真偽
ここで大事なルールを紹介します
これによって，①もとの命題 ②逆の命題 ③裏の命題 ④対偶の命題 の真偽を調べる場合は，
- ①もとの命題 と ④対偶の命題 の真偽は一致するので，どちらか片方の真偽を調べればよい
- ②逆の命題 と ③裏の命題 の真偽は一致するので，どちらか片方の真偽を調べればよい
つまり，合計４つの命題（もとの命題，逆，裏，対偶）の真偽を調べる際は，最低限２つ調べればよいのです！
命題の逆・裏・対偶とその真偽 ①基本編
もとの命題と対偶の真偽が一致すること，逆と裏の命題の真偽が一致することに注意して，問題を見ていきましょう
もとの命題と対偶，逆と裏の真偽は一致しているね！
対偶の関係であれば，偽の場合に必ず同じ反例が見つかるよ！
命題の逆・裏・対偶とその真偽 ②応用編
(1)は「少なくとも一方は」「ともに」の否定，
(2)は「かつ」「または」の否定，さらに「不等式」の否定があるね！
応用編の問題では，「少なくとも一方は」「ともに」の否定，「かつ」「または」の否定，さらに「不等式」の否定が組み合わさっています
こちらの詳細は過去の授業を参考にしてください
【集合と命題⑥】条件の否定
命題の逆・裏・対偶の応用編は，条件の否定の組合せ問題と言えますね！
★補足★ 対偶で日常会話を考えてみた！
対偶を日常会話に落とし込んで考えてみましょうか
「命題とその対偶の真偽は一致する」と学習しました
あなたは次の命題が真だと思いますか？偽だと思いますか？
- かわいい子には彼女がいる
- 彼女がいない子はかわいくない（対偶）
え……！！？
ぼくは①は真で，②は偽だと思うけど…
もう一つ見てみましょう
- お金持ちは豪邸に住んでいる
- 豪邸に住んでいないお金持ちはお金持ちではない（対偶）
う～ん。やっぱり①は真で，②は偽かな～
真偽が一致しないのはおかしいね！
あなたはこの日常会話のおかしな点にお気付きでしょうか…？
「命題とその対偶の真偽は一致する」ので，①②とも真か偽になるのか…
実はこの日常会話，大前提がおかしいんです！！
実はこの日常会話…そもそも命題ではないんだよ！！
命題とは，正しくないかが決まる文や式のことでした
真は100％正しい，偽は100％正しくないので，人によって真か偽か判断か分かれるものは命題と呼ばないのです！
対偶を用いる場合は，もとの文がそもそも命題なのか…
この視点を持つ必要がありますね♪
それでは本時のまとめです
- 逆は前後逆，裏は意味の否定，対偶はその両方！
- 逆と裏の命題も対偶の関係性
- 命題とその対偶の真偽は一致する
- ①もとの命題 ②逆 ③裏 ④対偶 の真偽の判断は，①か④，②か③の，最低限２つ調べればよい
- 命題の逆・裏・対偶は，条件の否定の組合せ問題となっている
- 対偶を日常会話に用いる場合は注意が必要
命題の逆・裏・対偶の仕組みは決して難しくありません
正しく条件の否定ができるかどうかがポイントですね！
条件の否定をしっかりと復習して，命題の逆・裏・対偶を理解しましょう♪
今回は以上です。ありがとうございました
