madoryの『高校数学のブログ授業』です
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こんな❝あなた❞に向けて発信しています!
さっそく本時の結論です
「逆は前後逆,裏は意味の否定,対偶はその両方!」
命題とは,正しいか正しくないかが決まる文や式のことでした
詳細は過去の授業を参考にしてください
![](https://soccercross.com/wp-content/uploads/2021/11/18dae09b204517ade5d748b05077810f-160x160.png)
その命題の逆・裏・対偶とは何なのか…
結論にしたがって,順番に見ていきましょう
まず,命題とその逆・裏・対偶の定義を確認しましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/11/26709763222995d6b2b0afc510a757c5.png)
命題の逆は前後逆,裏は意味の否定,対偶はその両方をします
命題とその逆・裏・対偶のイメージ図
想像しやすいように,イメージ図でも確認しましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/11/d39c976fa9fb018b499e0c958ec9897b.png)
ここで確認したいのは,もとの命題の逆と裏の命題も対偶になっていることです
❝前後逆かつ意味の否定がされていたら対偶❞と理解しましょう!
命題とその対偶の真偽
ここで大事なルールを紹介します
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/11/5d4ee55246573b6735422cb50343c550.png)
これによって,①もとの命題 ②逆の命題 ③裏の命題 ④対偶の命題 の真偽を調べる場合は,
- ①もとの命題 と ④対偶の命題 の真偽は一致するので,どちらか片方の真偽を調べればよい
- ②逆の命題 と ③裏の命題 の真偽は一致するので,どちらか片方の真偽を調べればよい
つまり,合計4つの命題(もとの命題,逆,裏,対偶)の真偽を調べる際は,最低限2つ調べればよいのです!
命題の逆・裏・対偶とその真偽 ①基本編
もとの命題と対偶の真偽が一致すること,逆と裏の命題の真偽が一致することに注意して,問題を見ていきましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/12/11-1.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
もとの命題と対偶,逆と裏の真偽は一致しているね!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
対偶の関係であれば,偽の場合に必ず同じ反例が見つかるよ!
命題の逆・裏・対偶とその真偽 ②応用編
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/12/28447d22e226612ffb2c09172603ec21.png)
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
(1)は「少なくとも一方は」「ともに」の否定,
(2)は「かつ」「または」の否定,さらに「不等式」の否定があるね!
応用編の問題では,「少なくとも一方は」「ともに」の否定,「かつ」「または」の否定,さらに「不等式」の否定が組み合わさっています
こちらの詳細は過去の授業を参考にしてください
![](https://soccercross.com/wp-content/uploads/2021/11/e5e3ff523c06c5c566fae676b4506bd4-160x160.png)
命題の逆・裏・対偶の応用編は,条件の否定の組合せ問題と言えますね!
★補足★ 対偶で日常会話を考えてみた!
対偶を日常会話に落とし込んで考えてみましょうか
「命題とその対偶の真偽は一致する」と学習しました
あなたは次の命題が真だと思いますか?偽だと思いますか?
- かわいい子には彼女がいる
- 彼女がいない子はかわいくない(対偶)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
え……!!?
ぼくは①は真で,②は偽だと思うけど…
もう一つ見てみましょう
- お金持ちは豪邸に住んでいる
- 豪邸に住んでいないお金持ちはお金持ちではない(対偶)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
う~ん。やっぱり①は真で,②は偽かな~
真偽が一致しないのはおかしいね!
あなたはこの日常会話のおかしな点にお気付きでしょうか…?
「命題とその対偶の真偽は一致する」ので,①②とも真か偽になるのか…
実はこの日常会話,大前提がおかしいんです!!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
実はこの日常会話…そもそも命題ではないんだよ!!
命題とは,正しくないかが決まる文や式のことでした
真は100%正しい,偽は100%正しくないので,人によって真か偽か判断か分かれるものは命題と呼ばないのです!
対偶を用いる場合は,もとの文がそもそも命題なのか…
この視点を持つ必要がありますね♪
それでは本時のまとめです
- 逆は前後逆,裏は意味の否定,対偶はその両方!
- 逆と裏の命題も対偶の関係性
- 命題とその対偶の真偽は一致する
- ①もとの命題 ②逆 ③裏 ④対偶 の真偽の判断は,①か④,②か③の,最低限2つ調べればよい
- 命題の逆・裏・対偶は,条件の否定の組合せ問題となっている
- 対偶を日常会話に用いる場合は注意が必要
命題の逆・裏・対偶の仕組みは決して難しくありません
正しく条件の否定ができるかどうかがポイントですね!
条件の否定をしっかりと復習して,命題の逆・裏・対偶を理解しましょう♪
今回は以上です。ありがとうございました