すうがくの両先生 
madoryの『高校数学のブログ授業』です
- 数学を基礎から学び直したい高校生
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- 挫折した高校数学に再挑戦したい社会人
こんな❝あなた❞に向けて発信しています！
さっそく本時の結論です
「補集合はそれ以外！逆の集合を考えよう」
補集合が問題に混ざると，集合の難易度がぐっと上がります
補集合とはそもそも何なのか…？補集合を求めるにはどうしたらよいのか…？丁寧に解説していきます
それではこの結論にしたがって，順番に見ていきましょう
まず，全体集合を U ，その部分集合を A とします
このとき，U の要素で，A には属さない要素全体の集合を補集合と言います
分かりづらいですよね…？簡単にまとめます
A の補集合は，A 以外と覚えればいいんだね！
補集合を求める①
補集合を求める際には，共通部分 ⋂ と和集合 ⋃ の理解が欠かせません
詳細は過去記事で復習をしてくださいね！
【集合と命題②】共通部分と和集合
それでは実際に，補集合を求めていきましょう
補集合の性質
補集合のことを正しく理解するために，性質をまとめておきます
③は「A バーのバー」という風に読めるよ！
「A の補集合の補集合」と言った方が分かりやすいかもね！
補集合の補集合なんてあるんだ～！
ド・モルガンの法則
次に，ド・モルガンの法則を紹介します
共通部分・和集合・補集合の考え方を応用したルールとなっています
なんだか難しそうな法則だ…
大丈夫！ポイントは２つだけだよ!!
『かつ』と『または』を入れ替えて，補集合を分けることだよ！
共通部分の『かつ』と和集合の『または』を入れ替えて，全体の補集合をそれぞれの補集合に分けること
これがド・モルガンの法則の覚え方です！
補集合を求める② ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則を用いた問題を見てみましょう
(3)はド・モルガンの法則を知らないと，全然集合のイメージがつかなそう…
★補足★ なぜ，❝ド・モルガン❞の法則と言うのか？
なぜ，ド・モルガンの法則と言うのか…実は簡単です
「ド・モルガンさんが発見した法則だから」です
数学や理科などの理系分野では特に，定理や公式の発案者の名前をそのままつけることがあります
〇本名は，オーガスタス・ド・モルガン（Augustus de Morgan）（1806年6月27日 – 1871年3月18日）
〇インド生まれのイギリスの数学者で，ド・モルガンの法則を発案
〇父親がイギリス東インド会社で働いていたため、インドのマドゥライで生まれるが、生後1年もたたないうちにイングランドに戻る
〇16歳でケンブリッジ大学のトリニティ・カレッジに入学、ウィリアム・ヒューウェルやジョージ・ピーコック（en:George Peacock）の元で学ぶ
〇1828年からユニヴァーシティ・カレッジ（現ユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドン）の教授を務めた
引用：フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』オーガスタス・ド・モルガン – Wikipedia
長年の功績の成果として，公式の名前が自分の名前になる…数学者にとっては最高の栄誉ですね！
それでは本時のまとめです
- 補集合はそれ以外！逆の集合を考えよう！
- A の補集合は「A バー」と読み，A 以外の部分を表す
- A の補集合の補集合は A になり，もとに戻る
- ド・モルガンの法則のポイントは２つ！『かつ』と『または』を入れ替え，補集合を分ける
- ❝ド・モルガン❞の法則と言うのは，ド・モルガンさんが発見したから
これまでに学習した共通部分と和集合に，今回学習した補集合がミックスされて出題されるのがイメージできたのではないでしょうか？
「数学Ⅰ」における集合の理解は今回の授業内容までで十分です
ちなみに，この集合の考え方は「数学A」でも活用していきます
しっかり押さえておきたいですね！
今回は以上です。ありがとうございました
