すうがくの両先生 
こんにちは，madoryです！
最近，日本平動物園の近くで富士山型のコーンを見かけるんだ！！
この可愛い富士山型のコーン…，
実は，地元静岡県富士宮市の会社が作っているんだよ♬
そうだったんだ～！
静岡県と言えば富士山だから，見るとなんだか嬉しい気持ちになるね♬
じゃあ今日は，
富士山コーンの形である❝三角形❞で成り立つ公式について，
一緒に勉強していこうか♬
本時は三角形で成り立つ公式『正弦定理』について学習していきます
三角比は直角三角形で成り立つルールでしたが，本時で学習する『正弦定理』は直角三角形である必要はありません！
どんな三角形でも成り立つ…そんな新しい公式について楽しく勉強していきましょう♬
ということで本時は，
三角形で成り立つ公式『正弦定理』について理解しよう！
さっそく本時の結論です
正弦定理を使う際のポイントは，外接円の半径Ｒを含むか含まないか
そもそも正弦って何？
三角比とは sin，cos，tan のことであり，そのうち正弦とは sin を表しました
- 正弦（せいげん）‥‥ sine（サイン）
- 余弦（よげん）‥‥ cosine（コサイン）
- 正接（せいせつ）‥‥ tangent（タンジェント）
詳しくはこちらの記事を参考にしてください
【図形と計量①】あなたはどれ派？三角比の定義の暗記方法３選
つまり正弦定理とは，ずばり『sin を用いた定理』となりますね！
正弦定理とは？公式の紹介
さっそく正弦定理を紹介しましょう！
正弦定理は，三角形ABC の辺の長さと大きさ，外接円の半径を用いた公式です
さらに，大文字で表される角度Ａと小文字で表される辺の長さ a は，三角形の角度とその向かい合う辺の関係性です
A → B → C と順に進んでいくから覚えやすいね！
正弦定理の証明
次に，正弦定理の成り立ちを紹介していきましょう
いわゆる❝証明❞ですね！
証明することで，納得して公式を使うことができるね♬
まず，三角形の３つの頂点を通る円を外接円といいます
△ABC の外接円の半径をＲとして，A が鋭角の場合について考えていきましょう
中学校で学んだ円周角と，高校で学んだ三角比を組み合わせて証明できるね！
本当だ！！難しいけれど…なんとか理解できたよ♬
実際には，Ａが直角の場合と鈍角の場合も考えて，完全に証明できるね！
ここではＡが鋭角の場合について証明をしました
実際にはＡが直角の場合と鈍角の場合も証明して，どんなＡの角度についても正弦定理が成り立つことを示す必要があります
正弦定理を使って問題を解く際に，証明を意識することはないと思いますので，Ａが直角と鈍角の場合は省略します
しかし，教科書に載っているような証明を理解しておくことは大事ですね！
様々な問題を複合して考える練習になりますよ♬
正弦定理を用いた問題【①外接円の半径Ｒを含む】
正弦定理を用いた問題は，外接円の半径Ｒを含むか含まないかで，大きく２種類の解法に分かれます
まずは外接円の半径Ｒを含む解法について見ていきましょう！
まずは王道！
外接円の半径Ｒを求めることができたね‼
外接円の半径Ｒを利用して，三角形の角度を求めることができたね！
正弦定理の公式において，外接円の半径Ｒを含む場合についてまとめておきましょう
正弦定理を用いた問題【②外接円の半径Ｒを含まない】
次に，外接円の半径Ｒを含まない場合の正弦定理の公式の用い方について，見ていきましょう
式の中に外接円の半径Ｒが登場しなくなるよ！
外接円の半径Ｒを含まない場合についてまとめましょう
なるほど！！
外接円の半径Ｒを含まない場合は上の式に当てはめればいいんだね♬
★補足★ 直角三角形で正弦定理を用いると…どうなる？？
正弦定理を使う際に考える三角形は，直角三角形である必要はありませんでした
仮に，直角三角形だった場合を考えてみることにしましょう！
直角三角形の場合を正弦定理を用いて解いてみます
『sin 90°＝1』だったね！
直角三角形の場合でも正弦定理を用いて解くことができるね♬
でも…実は別解があるんだよ！！
次に，同じ問題を別解で解いてみます！
三角比の定義を用いた方法です
そっか！！
直角三角形だから三角比の定義で解くことができるんだね♬
その通り！！
三角比って便利でしょ^^
直角三角形の場合は，正弦定理で問題を解くこともできますが，あえてその必要はありません
三角比の定義を使うことで，より簡単に解くことができます
直角三角形の場合は，正弦定理でなくまず三角比の定義を考えるようにしてくださいね！
それでは本時のまとめです
- 正弦とは sin のことであり，正弦定理とは sin を用いた公式
- 正弦定理の証明は，鋭角・直角・鈍角の場合に分けて考える。鋭角の場合の証明は，円周角の定理と三角比の定義を用いる
- 正弦定理の使い方は，外接円の半径Ｒを含むか含まないかで判断する
- 正弦定理を用いて三角形の辺の長さや角度を計算できる
- 直角三角形の場合も正弦定理を用いることはできるが，三角比の定義を用いるとよい
本時は正弦定理に関して詳しく解説をしてきました
いかがだったでしょうか？
❝正弦定理❞というと，なんだか堅苦しく抵抗感を覚えやすいものです…
しかし，外接円の半径Ｒを含むか含まないかで仕分けをして考えることで，解法が２種類に枝分かれします
本時の授業を通して，迷わず式を立てることができるようになれば幸いです
今回は以上です。ありがとうございました
