すうがくの両先生 
こんにちは，madoryです！
『sin120°＝sin60°』になることを勉強したね！
うん！
『sin135°＝sin45°』になるし，
他にも『sin143°＝sin37°』になることも分かったよ♬
今日はそれをルール化した『180°ーθ の三角比』について紹介するね♬
それと，合わせて理解したい『90°ーθ の三角比』についても紹介するよ‼
三角比を拡張することで，鈍角の三角比の値を求めることができました
代表例は『120°，135°，150°』，その他の角度は『三角比の表』を利用することで値を計算できましたね！
詳しくはこちらを参考にしてください
【図形と計量⑥】必ず覚えるべき鈍角の三角比の値３選！
本時はそんな鈍角の三角比の値の求め方のルールをまとめた『180°ーθ の三角比』を紹介します
さらに，混同しやすい『90°ーθ の三角比』についても紹介します
ということで本時は，
「90°ーθ の三角比，180°ーθ の三角比 を区別して理解しよう！」
さっそく本時の結論です
『90°ーθ の三角比』は ，sin と cos を入れ替え，tan は逆数に！
『180°ーθ の三角比』は，形そのまま， cos，tan を負（マイナス）に！
90°ーθ の三角比
まずは，90°ーθ の三角比について考えましょう
手順は以下の通りです
- 直角三角形の１つの角を θ とすると，他方は 90°ーθ となる
- θ について着目した三角比の値と，90°ーθ について着目した 90°ーθ の三角比の値を比較する
手順に基づいて，直角三角形を用いた三角比の定義と，90°ーθ の三角比を比較してみましょう
90°ーθ の三角比は，
直角三角形の図形の向きを変えただけなんだね！
そう！
図形の向きを変えたから，ｘとｙの値が入れ替わるよ!!
90°ーθ の三角比についてまとめましょう
- sin と cos の値が単純に入れ替わる
- tan は分母と分子が反対，つまり逆数になる
90°ーθ の三角比の使用例
90°ーθ の三角比の公式を使うと，
どうして❝45°以下の角の三角比❞になるの？
θ と 90°ーθ の2つの角は足すと90°になるから，
一方は45°以上，もう一方は45°以下になるんだよ！
90°ーθ の三角比の公式を用いると，一方が45°以上，もう一方は45°以下になります
これは，θ と 90°ーθ の２つの角が足すと90°になることが理由です
基本方針としては『大きい角度から小さい角度に直す』
つまり，45°以上の角度から45°以下の角度に直していきます！
180°ーθ の三角比
次に，180°ーθ の三角比の値を考えましょう
手順は以下の通りです
- θ が鈍角の三角比の値を考えると，着目する直角三角形の角度は 180°ーθ となる
- θ が鈍角の場合，ｘ座標が負になる点に注意して，180°ーθ の三角比の値を求める
手順に基づいて，座標を用いた三角比の定義と，180°ーθ の三角比を比較してみましょう
180°ーθ の三角比は，
結局 θ の場合と同じ図形になるんだね！
その通り！
鈍角の場合はｘ座標が負になるから，ｘがーｘになるよ!!
180°ーθ の三角比についてまとめましょう
- sin，cos，tan の分母・分子はそのまま変わらない
- cos，tan の符号が負になる
180°ーθ の三角比の使用例
180°ーθ の三角比を使うと，
なんで❝鋭角の三角比❞になるか分かる？
θ と 180°ーθ の2つの角は足すと180°になるから…
一方は90°以上(鈍角)で，もう一方は90°以下(鋭角)になるんだね！
その通り！
90°ーθ，180°ーθ の三角比は同じように考えることができるね!!
どちらも基本は45°以下，90°以下(鋭角)と，小さい角度に直すのが一般的だよ♬
180°ーθ の三角比の公式を用いると，一方が90°以上(鈍角)，もう一方は90°以下(鋭角)になります
これは，θ と 180°ーθ の２つの角が足すと180°になることが理由です
180°ーθ の三角比の公式も，基本方針は『大きい角度から小さい角度に直す』
つまり，90°以上の角度から90°以下の角度に直していきます！
※説明を理解しやすいように，90°以上(鈍角)，90°以下(鋭角)としていますが，厳密には鈍角は90°以上でなく90°より大きくなり，鋭角は90°以下でなく90°より小さくなります。不等式で表すと，90°＜θ＜180°が鈍角，0°＜θ＜90°が鋭角です。この点はご了承ください。
２つの公式の比較
90°ーθ の三角比の値と，180°ーθ の三角比の値をまとめて整理しましょう
こうやって並んでいるとややこしいね…。
それぞれの公式の作り方と覚え方を理解しておくといいね♬
★補足★ 同時に２つの公式を使うと…
さて，あなたは次の問題をどうやって解きますか？
90°ーθ の三角比，180°ーθ の三角比，さらに三角比の相互関係の公式を用いると，式の値を計算することが可能です
それでは解答を見ていきましょう！
すごい！！公式を組み合わせると値が求まるんだね！
大きい角度を小さい角度に直し，角度をそろえることがポイントだよ♬
90°ーθ の三角比，180°ーθ の三角比の公式を用いて，大きい角度を小さい角度に直して，同じ角度にそろえると計算を進められます
さらに，三角比の相互関係の公式を用いる場合もありますので，頭に入れておきましょうね！
それでは本時のまとめです
- 90°ーθ は直角三角形の θ でないもう一方の角度のこと
- 90°ーθ の三角比の公式は，直角三角形を用いた三角比の定義からｘとｙを入れ替えれば作ることができる
- 180°ーθ の直角三角形は，座標平面上で θ の直角三角形と同じ形の図形になる
- 180°ーθ の三角比の公式は，座標を用いた三角比の定義からｘをーｘに置き換えれば作ることができる
- 90°ーθ の三角比の公式で45°以上と45°以下の三角比に変形され，180°ーθ の三角比の公式で90°以上と90°以下の三角比に変形される
- 90°ーθ，180°ーθ の三角比の公式は，大きい角度を小さい角度に直すのが基本方針
本時は 90°ーθ，180°ーθ の三角比の公式を学習してきました
両方学習するとごちゃごちゃになって紛らわしくなる…そんな公式です
ぜひ，それぞれの作り方と覚え方を結び付けて理解するようにしてくださいね！
今回は以上です。ありがとうございました
