すうがくの両先生 
madoryの『高校数学のブログ授業』です
- 数学を基礎から学び直したい高校生
- 高校入学前に予習して備えたい中学生
- 挫折した高校数学に再挑戦したい社会人
こんな❝あなた❞に向けて発信しています！
さっそく本時の結論です
「平方完成して求めた軸を基準に，定義域＆最大値・最小値を考えよう！」
本時では，２次関数の最大値・最小値について学習します
最大値・最小値とは？
グラフのｙ座標の一番大きい値が最大値，一番小さい値が最小値
つまり，グラフを書いて一番上の点が最大値を表し，一番下の点が最小値を表す
２次関数の平方完成の方法については，過去の授業を参考にしてください
【２次関数④】平方完成で求める『軸と頂点』
それではさっそく結論にしたがって，順番に見ていきましょう
２次関数の最大値・最小値の基本の考え方
まず２次関数のグラフは，ｘ2 の係数が正か負かにより，下に凸か上に凸か決まっていました
レッサーくん
基本的には頂点の座標が最小値か最大値になるんだね！
ホッくん
グラフは無限に続くとき，最大値・最小値が❝なし❞と答えるんだ！
グラフが無限に続くとき，必ず最大値 or 最小値は❝なし❞となります
逆に，グラフが無限に続かなければ最大値 or 最小値は❝なし❞にはなりません
つまり，定義域があるのかないのかが，最大値・最小値の問題には重要です！
２次関数の最大値・最小値 ①定義域なし
レッサーくん
(2) は平方完成が必要な形の式だね！
ホッくん
定義域がない場合，
最大値 or 最小値のどちらかが必ず❝なし❞になるよ！
２次関数の最大値・最小値 ②定義域あり
ホッくん
軸の方程式から遠いｘ＝０で最大値になるよ！
レッサーくん
軸の方程式が定義域に入っていないね!!
ホッくん
軸の方程式が定義域に入っていない場合，
定義域の両端が最大値・最小値になるよ！
★補足★ 結局，最大値・最小値になるのはどこ？
結局，最大値・最小値になる座標ってどこなのか…
問題によって変わるのはもちろんのことですが，一度整理してまとめてみましょう
| ① 下に凸のグラフ | 最大値 | 最小値 |
| 定義域がない場合 | なし | 頂点の座標 |
| 軸の方程式が定義域内にある場合 | 軸の方程式が遠い定義域の左端 or 右端 | 頂点の座標 |
| 軸の方程式が定義域外の左側にある場合 | 定義域の右端 | 定義域の左端 |
| 軸の方程式が定義域外の右側にある場合 | 定義域の左端 | 定義域の右端 |
| ② 上に凸のグラフ | 最大値 | 最小値 |
| 定義域がない場合 | 頂点の座標 | なし |
| 軸の方程式が定義域内にある場合 | 頂点の座標 | 軸の方程式が遠い定義域の左端 or 右端 |
| 軸の方程式が定義域外の左側にある場合 | 定義域の左端 | 定義域の右端 |
| 軸の方程式が定義域外の右側にある場合 | 定義域の右端 | 定義域の左端 |
レッサーくん
困ったらこの表に戻ってくるようにするよ！
それでは本時のまとめです
- グラフのｙ座標の一番大きい値が最大値，一番小さい値が最小値
- 定義域がない場合，頂点の座標が最大値 or 最小値になる
- 平方完成が必要ならば，平方完成をして頂点の座標 or 軸の方程式を求めてから最大値・最小値を考える
- 定義域がある場合，軸の方程式を基準にする
- 定義域内に軸の方程式がある場合，頂点の座標＆定義域から遠い座標が最大値 or 最小値
- 定義域内に軸の方程式がない場合，定義域の両端が最大値 or 最小値
補足では，最大値・最小値がどこになるのか一覧にしてまとめました
頭の中を整理するために活用してくださいね♬
今回は以上です。ありがとうございました
