madoryの『高校数学のブログ授業』です
- 数学を基礎から学び直したい高校生
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- 挫折した高校数学に再挑戦したい社会人
こんな❝あなた❞に向けて発信しています!
さっそく本時の結論です
「平方完成して求めた軸を基準に,定義域&最大値・最小値を考えよう!」
本時では,2次関数の最大値・最小値について学習します
グラフのy座標の一番大きい値が最大値,一番小さい値が最小値
つまり,グラフを書いて一番上の点が最大値を表し,一番下の点が最小値を表す
2次関数の平方完成の方法については,過去の授業を参考にしてください
![](https://soccercross.com/wp-content/uploads/2022/01/d86cb12d1a8dc8866a9443eb7d430715-160x160.png)
それではさっそく結論にしたがって,順番に見ていきましょう
2次関数の最大値・最小値の基本の考え方
まず2次関数のグラフは,x2 の係数が正か負かにより,下に凸か上に凸か決まっていました
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/01/afedadec9b0184345ae8b91468580d16.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
基本的には頂点の座標が最小値か最大値になるんだね!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
グラフは無限に続くとき,最大値・最小値が❝なし❞と答えるんだ!
グラフが無限に続くとき,必ず最大値 or 最小値は❝なし❞となります
逆に,グラフが無限に続かなければ最大値 or 最小値は❝なし❞にはなりません
つまり,定義域があるのかないのかが,最大値・最小値の問題には重要です!
2次関数の最大値・最小値 ①定義域なし
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/01/3b53b06a5c92035702943c84ddd266cb.png)
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/01/a582895346b4e49f7570094471de1a63.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
(2) は平方完成が必要な形の式だね!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
定義域がない場合,
最大値 or 最小値のどちらかが必ず❝なし❞になるよ!
2次関数の最大値・最小値 ②定義域あり
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/01/1f8fec32723060e760224d00914a41ce.png)
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
軸の方程式から遠いx=0で最大値になるよ!
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/01/8a20d76f8c28ad6b67eb8541809e1dc7.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
軸の方程式が定義域に入っていないね!!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
軸の方程式が定義域に入っていない場合,
定義域の両端が最大値・最小値になるよ!
★補足★ 結局,最大値・最小値になるのはどこ?
結局,最大値・最小値になる座標ってどこなのか…
問題によって変わるのはもちろんのことですが,一度整理してまとめてみましょう
① 下に凸のグラフ | 最大値 | 最小値 |
定義域がない場合 | なし | 頂点の座標 |
軸の方程式が定義域内にある場合 | 軸の方程式が遠い定義域の左端 or 右端 | 頂点の座標 |
軸の方程式が定義域外の左側にある場合 | 定義域の右端 | 定義域の左端 |
軸の方程式が定義域外の右側にある場合 | 定義域の左端 | 定義域の右端 |
② 上に凸のグラフ | 最大値 | 最小値 |
定義域がない場合 | 頂点の座標 | なし |
軸の方程式が定義域内にある場合 | 頂点の座標 | 軸の方程式が遠い定義域の左端 or 右端 |
軸の方程式が定義域外の左側にある場合 | 定義域の左端 | 定義域の右端 |
軸の方程式が定義域外の右側にある場合 | 定義域の右端 | 定義域の左端 |
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
困ったらこの表に戻ってくるようにするよ!
それでは本時のまとめです
- グラフのy座標の一番大きい値が最大値,一番小さい値が最小値
- 定義域がない場合,頂点の座標が最大値 or 最小値になる
- 平方完成が必要ならば,平方完成をして頂点の座標 or 軸の方程式を求めてから最大値・最小値を考える
- 定義域がある場合,軸の方程式を基準にする
- 定義域内に軸の方程式がある場合,頂点の座標&定義域から遠い座標が最大値 or 最小値
- 定義域内に軸の方程式がない場合,定義域の両端が最大値 or 最小値
補足では,最大値・最小値がどこになるのか一覧にしてまとめました
頭の中を整理するために活用してくださいね♬
今回は以上です。ありがとうございました