madoryの『高校数学のブログ授業』です
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こんな❝あなた❞に向けて発信しています!
さっそく本時の結論です
「根号計算は,①加法・減法②乗法③除法 の3種類をマスターしよう!」
一言で根号の計算と言っても,それが加法・減法なのか…乗法なのか…除法なのか…
四則演算の違いによって,計算のコツは異なります
①加法・減法は,根号の中の数が同じ場合のみ,計算を進めることができます!
②乗法では,なるべく展開公式を使うことが重要です!
③除法は,いわゆる分母の有理化の計算のこと。『(a+b)(a-b)=a2-b2』の公式を使うことがポイントです!
この結論にしたがって,順番に見ていきましょう
根号の計算は,以下の3つの種類に分かれます
- 加法・減法
- 乗法
- 除法(分母の有理化)
乗法と除法はほとんど同じ計算のルールにはなりますが,「数学Ⅰ」における根号を含む除法の主な計算は,一般に『分母の有理化』を指します
それゆえ,乗法と除法で区別しておきます
根号の計算① 加法・減法
まず最初に,根号の加法・減法の計算を確認しましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/94aa7bae0fcbfcf5e1b08c05d3c1eda0.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
これ以上計算を進めることはできないんだね!
加法・減法は,根号の中の数が同じ場合のみ計算を進めることができます
根号の乗法で用いる展開公式
根号の計算の乗法の確認に行く前に,必要な展開公式を復習しておきましょう!
展開の授業で紹介した,展開の公式7選です
詳細は,過去記事を参考にしてください
![](https://soccercross.com/wp-content/uploads/2021/10/56a97679e2f306c1f77a19fcb214d3aa-160x160.png)
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/ad34277290bd0c4d2986d1d9819965f8.png)
これら7つの展開公式を可能な限り用いて,計算量を減らすことがポイントです!
根号の計算② 乗法
それでは,根号の乗法の計算を確認しましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/63484148271b8d5ebef1fdc2290f1ba1.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
(1)(2)は展開公式が使えて,(3)は公式が使えないんだね!
(1)(2)のような問題で公式に気付けるようにしないと!!
(1)(2)は展開公式が使えますが,(3) は展開公式が使えません
展開公式が使えない場合,計算量が増えるため,可能な限り展開公式を用いるようにしましょう
根号の計算③ 除法(分母の有理化)
続いて,根号の除法の計算に進みます
ここでは,分母に根号を含む形の計算である『分母の有理化』の確認をしていきます
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/f50d7052626d510919e10864e9635c45.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
分母と同じ形のものを,分母・分子の両方に掛けるんだね!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
分母・分子の両方に掛けるのは,約分すれば1になるからだよ!
分母の有理化は,ただの❝式変形❞なんだよ!
分母の項が1つの場合の分母の有理化は,中学校で学習済みの内容です
分母と同じ形を掛ければよいので簡単ですね!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
高校で新たに学習する分母の有理化がこちら!
『(a+b)(a-b)=a2-b2』の展開公式を分母に使っていくよ♪
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/ec63b0efa3782db84377d0e71181fcad.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
分母の後ろの項の符号を変えて,分母・分子の両方に掛ければいいんだね!
分母の項が2つの場合は,展開の公式 『(a+b)(a-b)=a2-b2』を使います
分母にもともとあった根号が2乗されることで,結果的に分母から根号が無くなります
分母の項の一方のみの符号を変えると,認識しておきましょう!
★補足★ なぜ,分母の❝有理化❞と呼ぶのか?
さて,「なぜ分母の❝有理化❞と呼ぶのか?」と
考えたことはありましたか?
『分母の有理化とは,分母から根号(ルート)を消すこと』
これ自体は間違いではありませんが,厳密には正しくはありません
ここで,予備知識をまとめておきます
❝有理数化❞を省略して❝有理化❞と呼んでいる
『有理数』の逆の意味である『無理数』とは,無限に続く数でなおかつ同じ数字が規則的に繰り返さない数
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![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
「無理数とは,根号(ルート)がついた数」
と理解しておけば大丈夫だよ!
一応,他には円周率のπ(パイ)=3.141592‥‥も無理数の仲間だよ
つまり分母の有理化とは…
無理数である分母を有理数にして,分母から根号(ルート)をなくすこと
を意味します
★補足★ 2重根号
根号が2つ重なった形…それが2重根号です
2重根号は次の公式で計算を進めることができます
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![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
下の公式は,a が b より大きいときであることに注意が必要だよ!
2重根号の公式を用いた計算を見てみましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/ccf2582b83075c1bf996901f0bce556b.png)
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
2重根号の公式を使うには,和と積で同じ組合せを作っていくんだ!
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
(2)では, 6 と 2 の順番を逆にしてしまうと間違いになるんだね!
気を付けないと~!!
さらに,2重根号の公式を用いた応用問題を紹介します
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
青い部分に注目して!(1)は 6 ,(2) は数字がないよ!!
内側の根号の前の数は, 2 でないと公式が使えないんだ~
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/464be980d4bc1c5492f445378777794a.png)
最後に,2重根号の計算の注意点です
2重根号を外して計算を進めることは,常にできるわけではありません
100%根号を外せるルールではないことは,認識しておきましょう!
最後に本時のまとめです
- 加法・減法は,根号の中の数が同じ場合のみ計算できる
- 乗法は,なるべく展開公式を使う
- 除法(分母の有理化)は,項が2つの場合は分母の項の一方のみ符号を変えて掛ける
- ❝有理❞化とは❝有理数❞化の略。分母の有理化とは,分母から無理数すなわち根号を消すこと
- 2重根号は,和と積で同じ組合せを作る。中の根号の前の数は,2 でないと公式が使えない
根号の計算は,四則演算によって理解しておくことが異なります
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2021/10/9cd03f78c978f17fbf1087aae8ed2c7c.png)
このように,これ以上計算不可能な部分をさらに進めてしまったりしないよう,気を付けましょう!
今回は以上です。ありがとうございました