madoryの『高校数学のブログ授業』です
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こんな❝あなた❞に向けて発信しています!
本時は,2次関数のグラフとx軸の位置関係について学習します
2次関数のグラフとx軸の共有点(交点)の座標の求め方,共有点の個数の求め方,共有点の種類から計算する方法…
これらを理解できるように進めていきますね!
ではさっそく本時の結論です
「x軸の共有点の座標は❝2次方程式❞を解き,共有点の個数と種類は❝判別式❞で解け!」
この結論にしたがって,順番に見ていきましょう
まず,2次関数のグラフとx軸の位置関係は以下の3パターンが考えられます
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/d10f199a032104cbc6ee451662f82556.png)
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
下に凸の場合だけでなく上に凸の場合もあるけれど,
x軸の位置関係が3パターンなのは変わらないよ!
2次関数のグラフとx軸の共有点(交点)の座標
2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求めてみましょう
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
共有点の座標はグラフとy=0(x軸)の交点だから,
2次方程式を解くことがポイントだよ♬
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/600-1.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
x軸がy=0 だから,y=0と2次関数のグラフの連立方程式を解くと,
共有点の座標が求まるんだね!
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/600-3.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
2次方程式の解(答え)が1つなら,共有点の座標も1つだね!
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/480.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
因数分解できなければ解の公式だね!
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
あれ……。解の公式が使えるということは…,
共有点の個数を求めるだけなら判別式で解けばいいのかな??
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
その通り!!すばらしい気づきだね♬
判別式を用いて共有点の個数を計算してみよう!
2次関数のグラフとx軸の共有点の個数
判別式を用いて,2次関数のグラフとx軸の共有点の個数を求めていきましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/300.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
D>0 なら2次方程式の解の個数は2個だから…
2次関数のグラフとx軸の共有点の個数も2個になるんだね!
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/7ce76b42f7798cd1f60d5b7ab053b40b.png)
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
xの係数が偶数のときは,判別式 D/4 が使えたね♬
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![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
D<0 のときは,共有点の座標を求めることができないよ!
グラフとx軸が交わっていないからね!!
このように,2次方程式の判別式を用いて,2次関数のグラフとx軸の共有点の個数を求めることができます
2次関数のグラフとx軸の位置関係
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/720.png)
上記のように,判別式を用いて『x軸との位置関係(共有点の種類)』と『x軸との共有点の個数』が分類されます
『x軸との位置関係(共有点の種類)』についての問題を見てみましょう
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/420.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
共有点の種類が異なる2点で交わる場合だから,
D>0 を計算すればいいんだね!
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/03470e2de17e9149cc8a6bf89063a898.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
共有点の種類が共有点をもたない場合だから,
D<0 だね!
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
この他に,『x軸と接する』の場合は,D=0 になるね♬
★補足★ 2次関数と直線(x軸でない)の共有点の座標と個数
2次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求めるには,連立方程式を解くことを考え,2次方程式を解けばいいことを学習しました
では,2次関数のグラフとx軸以外の直線との共有点の座標を求めるには,どうしたらいいでしょうか?
1つ例を見てみましょう
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
連立方程式を解くと考えると,
今回の問題も2次方程式になるよ!
![](https://madory17.com/wp-content/uploads/2022/02/780.png)
![レッサーくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/efa5b52f5760c17fdd5fae3c5f2587af.png)
❝連立方程式を解く❞と考えれば,2次関数以外の式でも応用が利きそうだね♬
![ホッくん](http://madory17.com/wp-content/uploads/2021/07/bc3c47de0f9c6b231b5dec1185233ff2.png)
その通りだね!直線と直線でも共有点を求められるし,
今後勉強するグラフも同じように考えられそうだね!
それでは本時のまとめです
- 2次関数とx軸の位置関係は3パターン ①x軸と異なる2点で交わる ②接する ③共有点をもたない
- 2次関数とx軸の共有点の座標の求め方は,連立方程式を解くと考え,2次方程式を解けばよい
- 2次関数とx軸の共有点の個数を求めるだけならば,2次方程式の判別式を計算すればよい
- D>0 ⇔ 異なる2点で交わる ⇔ 共有点2個
- D=0 ⇔ 接する ⇔ 共有点1個
- D<0 ⇔ 共有点をもたない ⇔ 共有点0個
- 2次関数とx軸以外の直線との共有点の座標の求め方も,連立方程式を解くと考え,2次方程式を解けばよい
本時は2次関数のグラフとx軸の位置関係について学習しました
なぜ,2次方程式を解く必要があるのか?
なぜ,2次方程式の判別式を用いるのか?
頭の中で整理できるまで何度も見直してみてくださいね!
今回は以上です。ありがとうございました