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madoryの『高校数学のブログ授業』です
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こんな❝あなた❞に向けて発信しています！
さっそく本時の結論です
「否定した命題が成り立つと仮定し，矛盾を導け！」
今回は命題の２つ目の証明方法である，❝背理法❞（はいりほう）を紹介します
背理法は，「理（ことわり）に背く（そむく）方法」と書きます
要するに，「物事の理屈や道理に反する方法」ですね！
結局❝背理法❞とは何なのか…
結論にしたがって，詳しく見ていきましょう
背理法とは？
まず，背理法についてまとめます
ある命題について，その命題が成り立たないと仮定して，矛盾を導くことで，もとの命題が正しいことを証明する方法
背理法の証明方法，４ステップを紹介します
- 命題が成り立たないと仮定する（つまり，命題を否定する）
- その仮定のもとで矛盾を導く
- ②で矛盾を生じたのは，①の仮定が間違っていたから
- したがって，もとの命題が成り立つ
なんだかややこしく感じるかもしれません
実際に問題で見ていきましょう
背理法を用いた命題の証明 ①基本編
左辺と右辺で計算の矛盾が起きたんだね！
命題が成り立たないと仮定して計算したら矛盾があった
→だから，もとの命題は正しかった という流れになるよ！
このように，命題を否定して計算を進めていき，おかしなことを発見できたらOKです！
つまり，否定した命題が成り立つと仮定して，矛盾を導きましょう
背理法を用いた命題の証明 ②応用編
次に，有名な背理法の証明問題を紹介します
無理数であることを証明する問題です
それ以上約分できない既約分数としたのに，約分できてしまい矛盾が起こってるよ！
今回は❝ルート２❞が無理数であることを証明しましたが，同じようにして他の無理数の証明も可能です
手順を押さえておきましょう
- 無理数でない，すなわち有理数であると仮定する
- その有理数を既約分数として m, n の文字で置く
- m, n が〇〇の倍数であることを確かめていき，約分できることを発見する
- 既約分数であることに矛盾するので，もとの数は有理数でなく無理数であることが証明できた
★補足★ 日常生活を背理法で証明してみた
背理法を用いて，日常生活の中で証明をしてみましょう
こちらは意外と使える優れものかもしれません！
好きな子に彼氏がいると仮定する。
彼氏がいれば学校が休みの土日に遊んでいるはずである。
それなのに，土日に連絡をするといつも即レスポンスが返ってくるので，彼氏がいれば学校の休みの土日に遊んでいることに矛盾する。
よって，好きな子に彼氏はいない。 証明終
彼氏がいたらこんなことしないから，彼氏はいないはず！！
こんな風に自然に背理法で考えているのではないでしょうか？
A さんの頭が良いと仮定する。
頭が良ければ数学の難問が解けるはずだ。
数学の難問を解いてもらったら全然解けなかったので，頭が良ければ数学の難問が解けることに矛盾する。
よって，A さんは頭が悪い。 証明終
なんとも失礼な証明ですが，背理法の便利さが実感してもらえるのではないでしょうか？
日常生活で自然に使用している背理法…
これからは背理法を意識して使用してみてくださいね♪
それでは本時のまとめです
- 否定した命題が成り立つと仮定し，矛盾を導け！
- 背理法とは，命題が成り立たないと仮定して，矛盾を導くことで、もとの命題が正しいことを証明する方法
- 背理法では，計算の矛盾を見つけよう！
- 既約分数とは、もうこれ以上約分できない分数
- 日常生活も背理法で証明できることが多く，実はごく自然に使用している！
背理法は一見ややこしい証明方法ですが、日常生活でもごく自然に使用しています
これからは背理法を意識しながら，日常会話をしてみてくださいね！
命題の証明方法はこれで2種類の方法を紹介しました
対偶を利用する方法，背理法を利用する方法…
両方を使いこなして証明が少しでも好きになってくれたら嬉しい限りです
それでは今回は以上です。ありがとうございました
